Здравствуйте! Если деятельность на ПСН вы будете вести в том же субъекте (муниципальном образовании), в котором встанете на учет в качестве ИП, то заявление на применение патентной системы вы можете подать вместе с документами на регистрацию. В этом случае вы будете поставлены на ПСН с даты регистрации или с той даты, которая указана в заявлении.

Если работать по патенту вы планируете в другом месте, то заявление на ПСН можно будет подать только после регистрации ИП в ИФНС того региона (муниципального образования), в котором будет весть деятельность.

Заявление на ПСН подается за 10 рабочих дней до начала осуществления патентной деятельности. Таким образом, чтобы начать применять ПСН с 1 июня заявление нужно будет подать не позднее, чем 17 мая, все верно. Более ранний срок, законодательством не предусмотрен. Вы можете поступить так:
1. Зарегистрировать ИП.
2. Подать заявление на УСН (чтобы не отчитываться по ОСНО за период с даты регистрации до даты перехода на ПСН).
3. Подать заявление на ПСН (не позднее 17 мая).
4. По окончании года сдать нулевую декларацию по УСН.

Что касается срока обращения с запросом на получение бумажных документов, то он законом не установлен. Более подробно узнать об этом можно в статье https://www.regberry.ru/news/kak-poluchit-bumazhnye-dokumenty-o-registra...