Здравствуйте!

Если речь об обществах с ограниченной ответственностью (ООО) и частных учреждениях (ЧУ), тогда и то, и другое у одной организации быть не может.

ООО — это коммерческая организация, цель ее создания — получение прибыли. Деятельность ООО регулируется законом № 14-ФЗ от 08.02.1998.
ЧУ — это разновидность некоммерческой организации (ст. 9 закона от 12.01.96 № 7-ФЗ «О некоммерческих организациях»). Как любая некоммерческая организация, ЧУ не имеет основной целью извлечение прибыли.

Это главная и принципиальная разница между указанными организационными формами. Организация не может быть одновременно и коммерческой, и некоммерческой, поскольку это взаимоисключающие характеристики.

Возможно, Вы имеете в виду ЧУ ДОО или ЧУ ОО? Такие организации действительно встречаются повсеместно. Согласно п. 2 ст. 23 закона об образовании в РФ (от 29.12.2012 № 273-ФЗ), есть несколько видов образовательных организаций. Среди них дошкольная образовательная организация (ДОО) и общеобразовательная организация (ОО).

Например, ЧУ ДОО детский сад «Солнышко» расшифровывается так:
• ЧУ говорит о том, что по организационно-правовой форме детский сад «Солнышко» — это некоммерческая организация в виде частного учреждения;
• ДОО говорит о том, что по направлению деятельности детский сад «Солнышко» — дошкольная образовательная организация.

Другой пример: ЧУ ОО «Институт естественных наук и экологии». Данная организация является некоммерческой и образована виде частного учреждения. А по направлению деятельности эта организация является общеобразовательной.