Действительно, закон от 30.11.2016 № 401-ФЗ позволяет уплатить за третьих лиц налоги, взносы и сборы. Госпошлина - это сбор, о чем говорится в статье 333.16 НК РФ, т.е., третьи лица могут уплачивать не только налоги, но и государственную пошлину за организации, ИП и физических лиц.
Что касается того, что писать в платежке, то по уплате именно пошлины пока еще нет обширной практики. Порядок заполнения платежного поручения при уплате третьими лицами указан в письме ФНС от 17.03.2017 № ЗН-3-1/1850@ https://www.garant.ru/products/ipo/prime/doc/71533940/
Однако мы всё равно рекомендуем предварительно уточнить эту возможность в регистрирующей инспекции или на горячей линии ФНС.