Ответственность за организацию бухучета возложена на руководителя. Организовать бухучет можно разными способами: передать на аутсорсинг, поручить штатному бухгалтеру или возложить на себя (ст. 7 Закона о бухучете № 402).
В вашем случае вы можете издать приказ, что в связи с отсутствием в штатном расписании должности бухгалтера ведение бухучета возлагаете на себя. Этот приказ не кадровый, а производственный, поэтому издавать его можно без трудового договора с директором.